Rozpatrzmy układ \( n \) równań różniczkowych zwyczajnych, których prawe
strony nie zależą od zmiennej \( t \):

Będziemy zakładać, że funkcje \( f_i, \,\,i=1,...n,\, \) są różniczkowalne w sposób ciągły po wszystkich zmiennych \( x_i. \)
Układ ( 1 ) nazywa się układem autonomicznym, albo też układem dynamicznym.

Zamiast pełnego układu ( 1 ), w małym otoczeniu punktu stacjonarnego można rozpatrywać jego linearyzację . Rozpatrzmy prawą stronę tego układu. Każdą funkcję \( f_i(x_{1},\,x_{2},...x_{n}) \) można w otoczeniu punktu \( \left(x_{1,0},\,x_{2,0},...x_{n,0}\right) \) przedstawić, zgodnie ze wzorem Taylora, w postaci

gdzie \( \xi=\sqrt{\sum_{k=1}^n\left(x_k-x_{k,0}\right)^2} \) oraz

Zatem zachodzi

Układ (2) nazywa się linearyzacją układu dynamicznego ( 1 ) w otoczeniu punktu stacjonarnego \( (x_{1,0},\,x_{2,0},...x_{n,0}) \).
Okazuje się, że przy pewnych warunkach, rozwiązania układu ( 1 ) oraz rozwiąznia układu liniowego ( 2 ) są w małym otoczeniu punktu stacjonarnego "jakościowo identyczne". Ponieważ rozwiązywać (analizować) układ liniowy jest na ogół niezmiernie prościej, niż układ pełny, opłaca się spróbować znaleźć warunki umożliwiające taką podmianę. To, czy zachowanie pełnego układu w otoczeniu punktu stacjonarnego jest rzeczywiście reprezentowane przez jego linearyzację, zależy od wartości własnych macierzy linearyzacji układu ( 2 ).
Przeanalizujemy to na przykładzie układu w \( R^2 \), podając przy okazji klasyfikację prostych punktów stacjonarnych.
Rozpatrzmy zatem układ równań

Portretem fazowym układu ( 3 ) nazywamy zbiór krzywych sparametryzowanych

które tworzą rozwiązania tego układu. Posługując się terminologią zapożyczoną w mechanice punktu materialnego, krzywe ( 4 ) nazywają też często trajektoriami lub trajektoriami fazowymi.

Przystępujemy do klasyfikacji punktów stacjonarnych układu ( 3 ).

1. Przypadek, gdy wartości własne \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy \( \hat A \) są rzeczywiste, różne, dodatnie.
Niech na przykład \( 0\lt \lambda_1\,\lt\,\lambda_2 \). Wtedy punkt \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się źródłem. Wówczas da się znaleźć taką liniową zamianę zmiennych

że układ ( 3 ) przybierze postać

Rozwiązaniem tego układu są wówczas funkcje

W przypadku, gdy \( C_1 \neq 0 \), rozwiązanie to można przedstawić w postaci równoważnej, przedstawiając \( y_2 \) jako funkcję \( y_1 \) poprzez wyrugowanie \( t \):

Portret fazowy układu ( 5 ) wygląda w tym przypadku tak, jak jest to pokazane na Rys. 1.

Zwróćmy uwagę na to, że osie współrzędnych są trajektoriami fazowymi układu. Oś pozioma odpowiada przypadku \( C_2=0 \), zaś oś pionowa odpowiada przypadkowi osobliwemu \( C_1=0 \). Te dwie trajektorie fazowe nie są ujęte we wzorze ( 6 ).

2. Wartości własne \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy \( \hat A \) są rzeczywiste, różne, ujemne.

Niech na przykład \( \lambda_2\,\lt\,\lambda_1\,\lt\,0 \). Punkt \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się wówczas zlewem. Podobnie jak w przypadku poprzednim, istnieje liniowa zamiana zmiennych \( (\xi,\,\eta)\rightarrow (y_1,\,y_2) \) taka, że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać

Zauważmy teraz, że zamiana zmiennej niezależnej \( t\rightarrow\tau=-t \) odzworowuje układ ( 7 ) w układ

równoważny układowi ( 5 ). Przekształcenie \( t\rightarrow\tau=-t \) nazywa się odbiciem zmiennej czasowej. Prowadzi ono do tego, że ruch wzdłuż każdej trajektorii fazowej odbywa się w przeciwnym kierunku. Poza tym portret fazowy pozostaje bez zmian. Wynika stąd, że portret fazowy układu ( 7 ) będzie taki, jak pokazano na Rys. 2.

3. Przypadek gdy wartości własne \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy \( \hat A \) są rzeczywiste, niezerowe i mają różne znaki.
Niech, na przykład, \( \lambda_1\,\gt\,0\,\gt\,\lambda_2 \). Wtedy punkt \( (0,\,0) \)
przestrzeni fazowej nazywa się siodłem. Wówczas istnieje liniowa zamiana zmiennych \( (\xi,\,\eta)\rightarrow (y_1,\,y_2) \) taka że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać

Rozwiązanie tego układu dane jest wzorami

W przypadku, gdy \( C_1 \neq 0 \), rozwiązanie to można też przepisać w postaci równoważnej, przedstawiając \( y_2 \) jako funkcję \( y_1 \) poprzez wyrugowanie zmiennej \( t \):

gdzie

Portret fazowy układu ( 9 ) w tym przypadku wygląda tak, jak to jest pokazane na Rys. 3. Zwrócmy uwagę na to, że osie współrzędnych są również trajektoriami fazowymi układu ( 10 ). Oś pozioma odpowiada przypadkowi \( C_2=0 \); oś pionowa odpowiada przypadku osobliwemu \( C_1=0 \). Te dwie trajektorie fazowe nie są wyrażone poprzez wzór ( 9 )

4. Przypadek gdy wartości własne \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy \( \hat A \) są czysto urojone i róznią się znakiem: \( \lambda_{1,2}= \pm\,i\,\omega \).

W tym przypadku punkt \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się środkiem. Istnieje liniowa zamiana zmiennych \( (\xi,\,\eta)\rightarrow (y_1,\,y_2) \) taka, że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać

Rozwiązanie tego układu dane jest wzorami

Rozwiązania te są funkcjami okresowymi. W płaszczyźnie fazowej na rysunku Rys. 4 są one przedstawione w postaci krzywych (orbit) zamkniętych.

5. Przpadek gdy wartości własne \( \lambda_1,\,\,\lambda_2 \) macierzy \( \hat A \) są zespolone, czyli \( \lambda_{1,2}=\alpha\,\pm\,i\,\omega \).
W tym przypadku punkt \( (0,\,0) \) przestrzeni fazowej nazywa się ogniskiem niestabilnym w przypadku gdy \( \alpha\,\gt\,0 \)
oraz stabilnym gdy \( \alpha\lt 0 \).
Portret fazowy ogniska niestabilnego przedstawionno na Rys. 5. Portret fazowy ogniska stabilnego wygląda podobnie, przy czym trajektorie są tu skierowane do początku układu współrzędnych.

Zachodzi